振動解析の解法
振動解析の解法
振動方程式は直接積分法により、次式で解きます。
$[M]\{\ddot{x}_n\} + \{C_n\} +\{F_n\} = \{f_n\}$時刻ステップnでの変位、復元力、減衰力を以下の式で表します。
$\{x_n\} = \{x_{n-1}\} + \{ \Delta x_n\}$ $\{F_n\} = \{F_{n-1}\} + [S_n]\{ \Delta x_n\}$ $\{C_n\} = \{C_{n-1}\} + [C_n]\{ \Delta \dot x_n\}$ここで、
$[S_n]$：時刻ステップnでの瞬間剛性マトリクス
$[C_n]$：時刻ステップnでの瞬間減衰マトリクス
弾塑性振動方程式は、以下となります。
$[M]\{\ddot x_n\} + [C_n]\{ \Delta \dot x_n\} + [S_n]\{ \Delta x_n\} + \{C_{n-1}\} + \{F_{n-1}\} = \{f_n\}$加速度を増分形で表すと、下式になります。
$\{ \ddot x_n\} = \{ \ddot x_{n-1}\} + \{ \Delta \ddot x_{n}\}$これを振動方程式に代入して、以下の式を得ます。
$[M]\{ \Delta \ddot x_{n}\} + [C_n]\{ \Delta \dot x_{n}\} +[S_n]\{ \Delta x_{n}\} + [M]\{ \ddot x_{n-1}\} + \{C_{n-1}\} + \{F_{n-1}\} = \{f\}$上式を、ニューマークβ法により直接解きます。すなわち、時刻ステップnの変位、速度は次式により表されます。
$x_n = x_{n-1} + \Delta t \Delta \dot x_{n-1} + \frac{ \Delta t^2}{2}x_{n-1} + \beta \Delta t ^2(\ddot x_n - \ddot x_{n-1})$ $\dot x_n = \dot x_{n-1} + \Delta t \Delta \ddot x_{n-1} + \frac{\Delta t}{2}(\ddot x_n - \ddot x_{n-1})$ここで、 $\Delta t$：時間刻み
これを増分形で表すと、以下のようになります。
$\{ \Delta x_n\} = \{x_n\} -\{x_{n-1}\} = \Delta t \{ \dot x_{n-1}\} + \frac{\{\Delta t\}^2}{2}\{\ddot x_{n-1}\} + \beta\{\Delta t\}^2\{\Delta \ddot x_n\}$ ${ \Delta \ddot x_n} = { \dot x_n} - { \dot x_{n-1}} = \Delta t {\ddot x_{n-1}} + \frac{\Delta t}{2}{\ddot x_n}$これらを用いて、 ${\Delta t}$について整理すると、次式が得られます。
${ \Delta \ddot x_n} = \{ [M] + \frac{\Delta t}{2}[C_n] + \beta{\Delta t}^2[S_n] \}^{-1} ・ [{ f_n - {[M] + \Delta t[C_n] + \frac{{\Delta t}^2}{2}[S_n] } {\ddot x_{n-1}} - \Delta t[S_n]{ \dot x_{n-1}} -{C_{n-1}} - {F_{n-1}} }]$