固有値解析

非減衰自由振動方程式

$$ [M]\{\ddot{x}\} + [S]\{x\} = 0 $$

ここで、
$[M]$：質量マトリクス

$[S]$：剛性マトリクス

$\{x\}$：変位ベクトル

$\{\ddot{x}\}$：加速度ベクトル

は次式のような固有周期問題となります。

$$ \lambda\{V\} = [M]^{-1} [S]\{V\} $$

このとき、 $[M]^{-1} [S]$は一般に対称行列ではなく、ロッキングを考慮した場合、 $[M]$

も対角行列とならないことから、以下に示すような対称行列の固有値問題に置換えて解きます。

まず、 $[M]$をコレスキーの平方根により、２つの三角行列の積で表します。

$$ [M] = [T] \times [T]^T $$

ここで、 $[T]$は下半分の三角行列です。式(3)を式(2)に代入し、左から $[T]^T$を乗ずると、

$$ \lambda [T]^T \{V\} = \left( [T]^{-1} [S] \left[T^{-1}\right]^T \right) [T]^T \{V\} $$

となります。従って、 $([T]^{-1}[S][T^{-1}]^T)$ の固有値、固有ベクトルを求めれば、式(4)の固有値、固有ベクトルおよび固有周期Tは次のように求まります。

$\lambda = \lambda^* \\ \{V\} = \left[T^{-1}\right]^T\{V^*\} \\ T = 2\pi/\sqrt{\lambda}$

なお、 $([T]^{-1}[S][T^{-1}]^T)$ の固有値解析は、振動自由度がに300以下の場合はヤコビ法により、300を超える場合はサブスペース法により計算されます。

式(1)に外乱として地震力を考慮すると

$[M]\ddot{x}+[S]x = -[M]\ddot{z}$ (6)

ここで、 $\ddot{z}$：地震加速度

$\{x\} = [V]\{q\}$とおき、左から $[V]$を乗ずれば、式(7)のようにモード分解することができます。

$\{\ddot{q}\} + [A]\{q\} = \{p\}$ (7)

ここで、

$[A] = ([V]^T[M][V])^{-1}[V]^T[S][V]$

$\{p\}$ = $-([V]^T[M][V])^{-1} \times [V]^T[M]\{\ddot{z}\}$ = $-\{\ddot{z}\} \times \{ \beta \}$

$\{\beta\}$を刺激係数と呼び、ロッキング・スウェイを考慮した場合の式で表せば次のようになります。

$\{ \beta \} = -([V]^T[M][V])^{-1}[V]^T[M]\{I\}$ (8)

ここで、